Z-преобразование

Z-преобразованием называют преобразование исходного временно́го сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел, в комплекснозначную последовательность частот.

Содержание

Определение

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее

Двустороннее Z-преобразование

Двустороннее Z-преобразование X(z) дискретного временного сигнала x[n] задаётся как:

X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \

где n — целое, z — комплексное число.

z = Aejφ

где A — амплитуда, а φ угловая частота ( в радианах )

Одностороннее Z-преобразование

В случаях, когда x[n] определена только для n ≥ 0, одностороннее Z-преобразование задаётся как:

X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \

Обратное Z-преобразование

Обратное Z-преобразование определяется как:

x[n] = Z^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz \

где C \ — контур, охватывающий область сходимости X(z) \. Контур должен содержать все вычеты X(z) \.

Область сходимости

Область сходимости представляет из себя некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых выполнено условие: OC = \{z : \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} < \infty\}\

то есть сумма по членам преобразования является конечной.

Таблица некоторых Z-преобразований

Сигнал, x[n] Z-преобразование, X(z) Область сходимости
1 \delta[n] \, 1\, \forall z\,
2 \delta[n-n_0] \, \frac{1}{z^{n_0}} \forall z\,
3 u[n] \, \frac{z}{z-1} |z| > 1\,
4 a^n u[n] \, \frac{1}{1-a z^{-1}} |z| > |a|\,
5 n a^n u[n] \, \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| > |a|\,
6 -a^n u[-n-1] \, \frac{1}{1-a z^{-1}} |z| < |a|\,
7 -n a^n u[-n-1] \, \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| < |a|\,
8 \cos(\omega_0 n) u[n] \, \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} } |z| >1\,
9 \sin(\omega_0 n) u[n] \, \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} } |z| >1\,
10 a^n \cos(\omega_0 n) u[n] \, \frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} } |z| > |a|\,
11 a^n \sin(\omega_0 n) u[n] \, \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} } |z| > |a|\,

См. также

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home