Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Теорема о мажорируемой сходимости утверждает, что если сходящаяся последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Формулировка из функционального анализа

Пусть фиксировано пространство с мерой (X,\mathcal{F},\mu). Предположим, что \{f_n\}_{n=1}^{\infty} и f - измеримые функции на X, причём f_n(x) \to f(x) п.в. Тогда если существует определенная на том же пространстве интегрируемая функция g, такая что |f_n(x)| \leq g(x)\; \forall n п.в., то функции fn,f интегрируемы и

\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mu(dx).

Формулировка из теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов Ω, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся п.н. последовательность случаных величин: X_n \to X п.н. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина Y, такая что |X_n| \leq Y\; \forall n п.н. Тогда случайные величины Xn,X интегрируемы и

\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}X_n = \mathbb{E} X.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home