Дифференцируемая функция

Содержание

Определения

Определение 1. Функция f:U(x_0)\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}, определённая в некоторой окрестности U(x0) вещественной точки x0, называется дифференци́руемой в точке x0, если для нее справедливо представление: f(x) = f(x_0) + A (x-x_0) + \operatorname{o}(x-x_0) при x\to x_0, где A\in \mathbb{R} - константа, вообще говоря, зависящая от функции и от точки, и \operatorname{o}(x-x_0) - функция пренебрежительно малая по сравнению с (xx0), когда x \approx x_0.

В терминах приращений аргумента и значения функции можно дать чуть менее строгое

Определение 2. Функция y = f(x) дифференцируема в точке x0, если её приращение представимо в виде: \Delta y = A \Delta x + \operatorname{o}(\Delta x), при \Delta x \to 0.

Простейшие свойства дифференцируемых функций

Дифференцируемость функции в точке эквивалентна существованию в этой точке конечной производной. Точнее справедлива следующая

Теорема 1. Функция f дифференцируема во внутренней точке x0 ее области определения в смысле Определения 1 тогда и только тогда, когда в этой точке существует конечная производная f'(x0), причем A = f'(x0).

Доказательство. Необходимость. Пусть справедливо представление f(x) = f(x_0) + A (x-x_0) + \operatorname{o}(x-x_0). Тогда \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = A + \frac{\operatorname{o}(x-x_0)}{x-x_0}. Переходя к пределу x\to x_0, получаем: f'(x0) = A. Доказательство достаточности проводится аналогичным образом.

Теорема 2. Функция, дифференциуемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же.

Доказательство. Из представления дифференцируемой функции вытекает, что \lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0), т.е. f \in C(x_0).

Касательная прямая

Прямо из определения вытекает, что функция, дифференцируемая в определенной точке, может быть хорошо приближена в ее малой окрестности линейной (афинной) функцией, чей график является прямой.

Определение 3. Пусть функция f определена и дифференцируема согласно Определению 1. Тогда функция f_l:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, задаваемая уравнением fl(x) = f(x0) + f'(x0)(xx0), называется касательной к функции f в точке x0.

Если x \approx x_0, то \operatorname{o}(x-x_0) \approx 0, а значит f(x) \approx f_l(x).

Дифференциал

Определение 4. Линейная функция df(x0)(h) = Ah произвольного аргумента h называется дифференциа́лом функции f в точке x0.

Подставляя h = Δx, получаем Δy = df(x0)(Δx), где Δx — приращение аргумента, а Δy — приращение касательной. Вспоминая, что касательная хорошо приближает функцию при малых приращениях аргумента, получаем, что геометрический смысл дифференциала — это приращение функции при бесконечно малом приращении аргумента.

Непрерывная дифференцируемость

Если все частные производные функции непрерывны, то она называется непрерывно дифференцируемой. Из непрерывной дифференцируемости следует и простая дифференцируемость

Примеры

Пример 1. Функция f(x) = x2 определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, x^2 - x_0^2 = (x+x_0)(x-x_0) = (2x_0 + x - x_0)(x-x_0) = 2x_0(x-x_0) + (x-x_0)^2. Таким образом, из определения дифференцируемости имеем: f'(x0) = 2x0. Уравнение касательной для этой функции имеет вид: f_l(x) = x_0^2 + 2x_0(x-x_0). Дифференциал этой функции задается формулой: df(x0)(h) = 2x0h.

Пример 2. Функция f(x) = | x | не является дифференцируемой в точке x0 = 0, ибо ее производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определен и ее дифференциал.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home