Показательная функция

Показательная функцияфункция обычно обозначаемая ax, где a - некоторое вещественное число, а x — переменная. Если в качестве a (называемого также основанием) стоит число e, то функция называется экспонентой.

Выведем существование и свойства функции ex на основе теории пределов.

Введение показательной функции

Рассмотрим последовательность an(x)=(1+\frac{x}{n})^{n}, обозначим через a(x) её предел: a(x) = \lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}(x)}.

Очевидно, что

  • a(0) = 1;
  • a(1) = e по определению;
  • \forall x \exists N: \forall n (n>N)\Rightarrow (a_{n}(x) > 0)

Поэтому если предел существует для какого-то x, то он неотрицателен. Докажем теперь, что при любом x последовательность an(x) сходится и, таким образом, функция a(x) определена для любого вещественного x. Вначале докажем монотонность an(x). Как уже было замечено, при любом x, начиная с некоторого n, все члены последовательности положительны, поэтому безбоязненно рассмотрим при таких n дробь \frac{a_{n+1}}{a_{n}}. Преобразуем её: \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(1+\frac{x}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{x}{n})^{n}}=(\frac{1+\frac{x}{n+1}}{1+\frac{x}{n}})^{n+1}(1+\frac{x}{n})=(\frac{(1+\frac{x}{n})+(\frac{x}{n+1}-\frac{x}{n})}{1+\frac{x}{n}})^{n+1}(1+\frac{x}{n})=(1-\frac{x}{(n+1)(n+x)})^{n+1}(\frac{n+x}{n}). Теперь к самому левому множителю применим неравенство Бернулли и получим, что всё выражение меньше (строго при n больше некоторого N1), чем (1-\frac{x}{n+x})(\frac{n+x}{n}) = 1. Стало быть, последовательность возрастает. Для существования предела необходима также ограниченность сверху. Докажем и её. an(x)an(-x) = (1-(\frac{x}{n})^{2})^{n}, значит, a(x) = \frac{(1-(\frac{x}{n})^{2})^{n}}{a_{n}(-x)}. Числитель дроби справа при достаточно больших n больше нуля, но всегда меньше единицы, знаменатель, как только что было доказано, возрастает и при достаточно больших n больше нуля. Зафиксируем какое-нибудь n = N2, чтобы знаменатель был больше нуля. Тогда левая часть всегда будет меньше \frac{1}{a_{N_{2}}(x)}, то есть константы. Значит, последовательность действительно ограничена и a(x) определена всюду на \mathbb{R}.

Свойства

Опишем свойства введённой нами функции.

1). a(x+y) = a(x)a(y). Для доказательства этого факта докажем сперва лемму: если \lim_{n\rightarrow\infty}{n\alpha_{n}}=0, то \lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\alpha_{n})^{n}}=1.

При достаточно больших n |αn| становится меньше единицы; по неравенству Бернулли получаем, что 1+n\alpha_{n}\leq(1+\alpha_{n})^{n} = \frac{(1-\alpha_{n}^{2})^{n}}{(1-\alpha_{n})^{n}}\leq\frac{1}{(1-\alpha_{n})^{n}}\leq\frac{1}{1-n\alpha_{n}}. Видим, что самая левая и самая правая части стремятся к единице, а значит, по теореме о неравенстве пределов, и заключённое между ними выражение стремится к тому же числу, ч. т. д.

Теперь доказательство собственно свойства. a(x)a(y) = \lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{x}{n})^{n}}\lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{y}{n})^{n}} = \lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{x}{n})^{n}(1+\frac{y}{n})^{n}} = \lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^{2}})^{n}} = \lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{x+y}{n})^{n}(1+\alpha_{n})^{n}} = \lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{x+y}{n})^{n}}, где α = \frac{xy}{n^{2}(1+\frac{x+y}{n})}. Из этого свойства следует, что a(x)a(-x)=1.

2). Из свойства 1 следует, что для любого x a(x) неотрицательна, но a(x) = a(x/2+x/2) = a(x)2, а значит, a(x) всегда положительна.

3). a(x) возрастает. Действительно, если x2 > x1, то a(x2) = a(x1 + (x2 - x1)) = a(x1)a(x2 - x1), где a(x1) положительно, а следующий сомножитель больше единицы (так как, по всё тому же неравенству Бернулли, a(x) >= 1+x).

4). a(x) непрерывна. Докажем непрерывность в нуле: 1+x \leq a(x)=\frac{1}{a(-x)}\leq\frac{1}{1-x}, а значит, предел в нуле равен единице - значению в нуле. Если мы рассмотрим x0, то увидим, что a(x) = a(x0)a(x-x0), при стремлении x к x0 правый множитель стремится к 1, поэтому предел a(x) в точке равен значению её в этой же точке, ч. т. д.

Теперь посмотрим повнимательнее на введённую функцию. a(nx) = a((n - 1)x + x) = … = (a(x))n; a(1) = e, a(1/n) = e1/n, a(m/n) = em/n, a(-m/n) = e-m/n, всё это легко показать. Получилось, что на множестве рациональных чисел введённая функция совпадает с функцией ex; на самом деле, она совпадает с ней на \mathbb{R}.


Эта статья или раздел нуждается в переработке.
Пожалуйста, улучшите её в соответствии с правилами написания статей.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home