Вычет (комплексный анализ)

В комплексном анализе вы́четом заданного объекта (функции, формы) называется объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданного.

Содержание

История

Теория вычетов одного комплексного переменного была в основном разработана О. Коши в 18251829. Кроме него, важные и интересные результаты были получены Ш. Эрмитом, Ю. Сохоцким, Э. Линделёфом и многими другими.

В статье [1] 1887 года А. Пуанкаре обобщил интегральную теорему Коши и понятие вычета на случай двух переменных, с этого момента и берёт своё начало многомерная теория вычетов. Однако оказалось, что обобщить это понятие можно различными способами.

Одномерный комплексный анализ

Определение

Пусть f(z)мероморфная функция в области D\subseteq \mathbb C. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке a\in D называется число

\operatorname{res}_a\, f(z)=\lim_{\rho\to0} {1 \over {2\pi i}} \int_{|z - a| = \rho} f(z) dz.

В силу голоморфности функции f(z) в малой проколотой окрестности точки a по теореме Коши величина интеграла не зависит от ρ при достаточно малых значениях этого параметра, так же как и от формы пути интегрирования. Важно только то, что путь является замкнутой кривой в D, один раз охватывающей рассматриваемую особую точку и больше никакую другую.

В некоторой окрестности точки a функция f(z) представляется сходящимся рядом Лорана по степеням za. Нетрудно показать, что вычет совпадает с коэффициентом ряда c − 1 при (za) − 1. Часто это представление принимают за определение вычета функции.

Вычет в «бесконечности»

Для возможности более полного изучения свойств мероморфной функции вводится понятие вычета в бесконечности, при этом она рассматривается как функция на сфере Римана. Пусть бесконечно удалённая точка является изолированной особой точкой f(z), тогда вычетом в бесконечности называется комплексное число равное

\operatorname{res}_\infty\, f(z)=-\lim_{\rho\to\infty} {1 \over {2\pi i}} \int_{|z - a| = \rho} f(z) dz.

Цикл интегрирования в этом определении ориентирован положительно, то есть против часовой стрелки.

Аналогично предыдущему случаю вычет в бесконечности имеет представление и в виде коэффициента лорановского разложения в окрестности бесконечно удалённой точки:

\operatorname{res}_\infty\, f(z)=-c_{-1}.

Вычет дифференциальной формы

С точки зрения анализа на многообразиях вводить специальное определение для некоторой выделенной точки сферы Римана (в данном случае, бесконечно удалённой) неестественно. Более того, такой подход затруднительно обобщить на более высокие размерности. Поэтому понятие вычета вводится не для функций, а для дифференциальных (1, 0)-форм на сфере Римана c мероморфными коэффициентами:

\operatorname{res}_a\, \omega=\lim_{\rho\to0} {1 \over {2\pi i}} \int_{|z - a| = \rho} \omega.

На первый взгляд разницы в определениях никакой, однако теперь a — произвольная точка \overline{\mathbb C}, и смена знака при вычислении вычета в бесконечности достигается за счёт замены переменных в интеграле.

Логарифмические вычеты

Интеграл {1 \over {2 \pi i}} \oint_{L} {f'(z) \over f(z)},dz называется логарифмическим вычетом функции f(z) относительно контура L.

Понятие логарифмического вычета используется для доказательсва теоремы Руше и основной теоремы алгебры

Способы вычисления вычетов

Согласно определению вычет может быть вычислен как контурный интеграл, однако в общем случае это довольно трудоёмко. Поэтому на практике пользуются , в основном, следствиями из определения:

  • В устранимой особой точке a\in \mathbb C, так же как и в точке регулярности, вычет функции f(z) равен нулю. В то же время для бесконечно удалённой точки это утверждение не верно. Например функция f(z)=\frac1{z} имеет в бесконечности нуль первого порядка, однако \operatorname{res}_\infty\, \frac1{z} = -1. Причина этого в том, что форма \frac{dz}{z} имеет особенность как в нуле, так и в бесконечности.
  • В полюсе a кратности n вычет может быть вычислен по формуле
\operatorname{res}_a\, f(z) = {1 \over (n - 1)!} \lim_{z \to a} {[(z-a)^n f(z)]^{(n-1)}}.
  • Если функция f(z)=\frac{g(z)}{h(z)} имеет простой полюс в точке a, где g(z) и h(z) голоморфные в окрестности a функции, h(a) = 0, g(a)\neq0, то можно использовать более простую формулу
\operatorname{res}_a\, f(z) = \frac{g(a)}{h'(a)}.
  • Очень часто, особенно в случае существенно особых точек, удобно вычислять вычет пользуясь разложением функции в ряд Лорана. Например, \operatorname{res}_0\, \operatorname{e}^{1/z}=\operatorname{res}_0\, \Big(1+\frac1{z}+\frac1{2!z^2}+\dots\Big)=1, так как коэффициент при z − 1 равен 1.

Приложения теории вычетов

Основная теорема о вычетах

Пусть функция f(z) голоморфна в замкнутой области, ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек z_1, z_2, \ldots, z_n, не лежащих на L. Тогда \oint_{L} f(z),dz = 2 \pi i \sum_{k=1}^n res_{z=z_k} f(z)

Вычисления определённых интегралов от тригонометрических функций

Пусть функция R(u,v) - рациональная функция переменных u и v. Для вычисления интегралов вида \int_{0}^{2 \pi} R(sin \phi; cos \phi),d \phi удобно использовать формулы Эйлера. Положив, что z = eiφ, и произведя соответствующие преобразования, получим: \int_{0}^{2 \pi} R(sin \phi, cos \phi),d \phi = 2 \pi i \sum res_{z=z_1} R_1 (z)

Вычисление несобственных интегралов

Для вычисления несобственных интегралов с применением теории вычетов используют следующие две леммы:

1. Пусть функция f(z) голоморфна в верхней полуплоскости I^+ = {z:I z \ge 0} за исключением конечного числа особых точек, не лежащих на вещественной оси и lim_{z \to \infty} [z f(z)] = 0. Тогда \int_{- \infty}^{\infty} f(x),dx = 2 \pi i \sum_{k=1}^n res_{z = z_k} f(z)

2. Пусть функция f(z) голоморфна в верхней полуплоскости I^+ = {z:I z \ge 0} за исключением конечного числа особых точек, не лежащих на вещественной оси и lim_{z \to \infty} [z f(z)] = 0 и α > 0. Тогда \int_{- \infty}^{\infty} f(x)e^{i \alpha x},dx = 2 \pi i \sum_{k=1}^n res_{z = z_k} f(z)e^{i \alpha x}

Литература

  •   H. Poincaré, «Sur les résidues des intégrales doubles», Acta Math., 9 (1887) pp. 321—380.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч. I и II. - М.: «Наука», 1976.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. - М.: «Наука», 1979.
  • Айзенберг Л. А., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. - Новосибирск: «Наука», 1979.
  • Цих А. К. Многомерные вычеты и их применения. - Новосибирск: «Наука», 1988.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home