Точная верхняя грань

Точной верхней гранью, или супре́мумом (лат. supremum, самый высокий) подмножества Х упорядоченного множества M называется наименьший элемент M, который больше или равен всех элеменов множества Х. Обозначается \sup X.

Более формально:

S_X=\{y\in M |\ \forall x \in X: x \leq y\}\! — множество верхних граней X, то есть элементов M, больших, чем все элементы X
s=\sup(X) \iff s \in S_X \and \forall y \in S_X: s\le y

Точной нижней гранью, или и́нфимумом (лат. infimum, самый низкий) подмножества Х упорядоченного множества M, называется наибольший элемент M, который меньше или равен всех элеменов множества Х. Обозначается \inf X.

Анализ

В математическом анализе рассматриваются числовые множества как подмножества множества вещественных чисел.

В отличие от максимального и минимального элемента, точная верхняя и точняя нижняя грань в \Bbb R всегда существуют для ограниченного множества.

Примеры

  • Для множества S=\{\frac{1}{k} | k\in\Bbb N \} = \{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots \}
\sup S = 1; \inf S = 0.
  • Множество положительных действительных чисел \Bbb R_+ = \{ x | x>0 \} не имеет точной верхней грани в \Bbb R, точная нижняя грань \inf \Bbb R_+ = 0.
  • Множество X = \{ x\in\Bbb Q | x^2 < 2 \} рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в \Bbb Q, но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то
\sup X = \sqrt{2} и \inf X = -\sqrt{2}.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home