Нормальное распределение

Нормальное распределение
Плотность вероятности

Зелёная линия соответствует стандартному нормальному распределению
Функция распределения

Цвета на этом графике соответствуют графику наверху
Параметры μ - коэффициент сдвига (вещественное число)
σ2 > 0 - коэффициент масштаба (вещественный)
Носитель x \in (-\infty;+\infty)\!
Плотность вероятности \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!
Функция распределения \Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \!
Математическое ожидание μ
Медиана μ
Мода μ
Дисперсия σ2
Коэффициент асимметрии 0
Коэффициент эксцесса 0
Информационная энтропия \ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!
Производящая функция моментов M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)
Характеристическая функция \phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть, является, с математической точки зрения, не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.


Содержание

Характеристики распределения

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины с параметром смещения μ и масштаба σ (или, что тоже самое, дисперсией σ2) имеет следующий вид:

p (x) = \frac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \exp \left( -\frac {(x - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right).

Функция распределения такой величины не выражается через элементарные функции и записывается по определению через интеграл Римана как

F (x) = \frac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \int _{-\infty} ^x \exp \left( -\frac {(t - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right) dt.

Функция распределения стандартной нормальной случайной величины (т. е. при \mu = 0,\ \sigma = 1) часто обзначают как \operatorname {\Phi} (\cdot):

\operatorname {\Phi} (x) = F (x; 0, 1) = \frac 1 {\sqrt {2 \pi}} \int _{-\infty} ^x \exp \left( -\frac {t^2} 2 \right) dt.

Функцию распределения нормальной случайной величины с любыми параметрами легко выразить через \operatorname {\Phi} (\cdot):

F (x; \mu, \sigma) = \operatorname {\Phi} \left( \frac {x - \mu} \sigma \right).

Характеристическая функция нормального распределения имеет вид

f (t) = \operatorname {E} \{i t \xi\} = \exp \left( i \mu t - \frac {\sigma^2 t^2} 2 \right),

где \xi \sim N (\mu, \sigma^2) — нормально распредёленная с параметрами μ и σ случайная величина. Производящая функция моментов ξ определена для всех вещественных t задаётся формулой

M (t) = \operatorname {E} \{t \xi\} = \exp \left( \mu t + \frac {\sigma^2 t^2} 2 \right).

Моделирование нормальных случайных величин

См. преобразование Бокса — Мюллера.

Статистическая проверка принадлежности нормальному распределению

Поскольку нормальное распределение часто встречается на практике, то для него разработаны специальные статистические критерии: критерий Пирсона, критерий Колмогорова-Смирнова и.т.д.


Курьёзы с нормальным распределением

В популярных психологических тестах часто используются списки вопросов, ответы на которые соответствуют определённым количествам баллов, которые затем суммируются. В зависимости от суммы, испытуемого причисляют к той или иной категории. Оказывается, что согласно центральной предельной теореме, если вопросы не имеют никакого смысла и никак не соотносятся с теми категориями, к которым причисляют испытуемых, а ответы случайны (то есть, если тест фальшивый), то распределение сумм окажется приближенно нормальным, а это значит, что большинство испытуемых окажутся причислены к некоей средней категории.

Поэтому, если в каком-то тесте вы (да ещё и ваши знакомые) оказались посередине шкалы, знайте, что это, вполне возможно, сработало нормальное распределение, а тест ничего не значит.

См. также

Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home