Обобщённая функция

Обобщённая функция или распределение — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие обобщённой функции дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д. С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь ее средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин.

Обобщённые функции были введены впервые в конце 20-х годов XX в. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие δ-функции и её производных. Основы математической теории обобщённых функций были заложены С. Л. Соболевым при решении задачи Коши для гиперболических уравнений, а в 50-х годах Л. Шварц дал систематическое изложение теории обобщённые функций и указал многие применения. В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений.

Содержание

Определение

Формально обобщённая функция f определяется как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших» (основных) функций f:\phi\mapsto (f,\phi). Важным примером основного пространства является пространство D(\R^n) — совокупность финитных C^\infty-функций на \R^n, снабженная естественной для неё топологией: последовательность функций из D(\R^n) сходится если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они C^\infty-сходятся.

Сопряжённое пространство к D(\R^n) есть пространство обобщённых функций D'(\R^n). Сходимость последовательности обобщённых функций из D' (\R^n) определяется как слабая сходимость функционалов из D'(\R^n), то есть f_n\to f, в D' (\R^n) означает, что (f_n,\phi)\to(f,\phi), для любой \phi\in D(\R^n).

Для того чтобы линейный функционал f на D(\R^n) был обобщённой функцией , то есть f\in D'(\R^n), необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества Ω существовали числа K и m такие, что

|(f,\phi)|\le K|\phi|_{C^m}

для всех φ с носителем в Ω.

Если в неравенстве число m можно выбрать независящим от Ω, то обобщённая функция f имеет конечный порядок; наименьшее такое m называется порядком f.

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

(f,\phi)=\int_{\R^n}f\phi

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми в функциями f(x) по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция f из D'(\R^n) совпадает в Ω с локально суммируемой в Ω функцией f0(x), если

(f,φ) = (f0,φ)

для всех φ с носителм в Ω. В частности, при f0 = 0 получается определение того, что обобщённая функция f обращается в нуль внутри Ω. Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции f и обозначается \operatorname{supp}f. Если \operatorname{supp}f компактен, то обобщённая функция f называется финитной.

Примеры

  • Любая локально конечная мера μ определяет обобщенную функцию fμ
(f_\mu,\phi)=\int\phi(x)d\mu(x).
В частности
  • Примером сингулярной обобщённой функции в \R^n служит δ-функция Дирака
(δ,φ) = φ(0),
Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке x = 0. δ-функция имеет порядок 1.
  • Поверхностная δ-функция. Пусть S — кусочно гладкая поверхность и λ — непрерывная функция на S. Обобщённая функция fS определяется равенством
(fS,φ) = φλ
S
При этом fS — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщенная функция описывает пространственную плотность масс пли зарядов, сосредоточенных на поверхности S с поверхностной плотностью λ (плотность простого слоя).
  • Обобщённая функция \rho \in D'(\R) определяемая равенством
(\rho,\phi)=\int_\R\frac{\phi(x)}xdx
(для гладких финитных функций этому интегралу можно предать смысл) функция ρ сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве \R\backslash 0 она регулярна и совпадает с \frac 1x.

Операции

Линейные операции над обобщенными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями:

  • Замена переменных. Пусть f\in D'(\R^n) и A:\R^n\to \R^n — гладкая замена переменных. Обобщенная функция f\circ A определяется равенством
(f\circ A,\phi)=(f,\phi\circ A^{-1}J(A))
где J(A) обозначает якобиан A. Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению A, она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщенные функции.
  • Произведение. Пусть f\in D' (\R^n) и a\in C^\infty(\R^n). Произведение af = fa определяется равенством
(af,φ) = (f,aφ)
Например aδ = a(0)δ, xρ = 1. Для обычных локально суммируемых функций произведение af совпадает с обычным умножением функций f(x) и a(x). Однако эта операция произведения вообще говоря не допускает распространения на любые обобщенные функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной. Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:
(xδ)ρ = 0ρ = 0
(xρ)δ = 1δ = δ
  • Дифференцирование. Пусть f\in D' (\R^n). Обобщенная (слабая) производная обобщенной функции \frac{\partial f}{\partial x_i} определяется равенством
(\frac{\partial f}{\partial x_i},\phi)=-(f,\frac{\partial \phi}{\partial x_i})
Так как операция \phi\mapsto \frac{\partial \phi}{\partial x_i} линейна и непрерывна из D (\R^n) в D(\R^n), то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщенная функция.

Свойства

  • Пространство D'(\R^n)полное: если последовательность обобщённых функций fi из D'(\R^n) такова, что для любой функции \phi\in D(\R^n) числовая последовательность (fi,φ) сходится, то функционал
(f, \phi)= \lim_{i\to\infty} (f_i, \phi)
принадлежит D'(\R^n).
  • Всякая f из D'(\R^n) есть слабый предел функций из D(\R^n). Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
  • Любая обобщенная функция из D'(\R^n) бесконечно дифференцируема (в обобщенном смысле).
  • Дифференцирование не увеличивает носителя обобщенной функции.
  • Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения af, где a\in C^\infty(\R^n).
  • Всякая обобщенная функция f из D'(\R^n) есть некоторая частная производная от непрерывной функции в \R^n.
  • Для любой обобщённой функции f порядка N с носителем в точке 0 существует единственное представление (f,φ) в виде линейной комбинации частных производных φ в нуле, с порядком \le N.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home