Метрическое пространство

В математике метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Содержание

Формальное определение

Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) d:M\times M\to \mathbb{R} (где \mathbb{R} обозначает множество вещественных чисел). Для любых точек x, y, z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

  1. d(x, y) ≥ 0
  2. d(x, x) = 0
  3. d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y.
  4. d(x, y) = d(y, x)    (симметрия)
  5. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)    (неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть положительно и расстояние от x до y такое же, как и от y до x. Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y, а потом от y до z.

Примеры

  • Дискретная метрика: d(x,y) = 0, если x=y, и d(x,y) = 1 во всех остальных случаях.
  • Вещественные числа с функцией расстояния d(x, y) = |yx| и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
  • Манхеттенская, или городская метрика: координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния d(x, y) = ||yx||, в случае конечной размерности это называется пространством Минковского (не надо путать с другим пространством Минковского).
  • Любое связное риманово многообразие M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.
  • Множество вершин любого связного графа G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.
  • Множество компактных подмножеств K(M) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорффа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:
D(X, Y) = inf{r : для всех x в X существует y в Y с d(x, y) < r и для любого y в Y существует x в X такое, что d(x, y) < r)}.
  • Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорффа.

Связанные определения

  • Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу этого пространства.
  • Метрика d на M называется внутренней, если любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x, y).
  • Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, т.е. множеств следующего типа:
B(x; r) = {y в M : d(x,y) < r},
где x есть точка в M и r — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество O является открытым, если для любой точки x\in O найдётся положительное число r, такое, что множество точек на расстоянии меньше r от x принадлежит O.
  • Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
  • Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
  • Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:
Для всех x, y и z в M, d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y, z)).
  • Расстояние d(x,S) от точки x до подмножества S в M определяется по формуле:
d(x,S) = inf{d(x,s) : sS}
Тогда d(x, S) = 0, только если x принадлежит замыканию S.
  • Иногда рассматривают метрики со значениями [0,∞]. Для любой такой метрики можно рассмотреть конечную метрику d'(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)) или d''(x, y) = min(1, d(x, y))). Эти метрические пространства имеют одну и ту же топологию.

Свойства

  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
  • Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
    • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
    • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

История

Морис Фреше (Maurice René Fréchet) впервые ввёл понятие метрического пространства в своей работе Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74, в связи с рассмотрением функциональных пространств.

См. также

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home