Операции над множествами

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Сравнение множеств

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:

A \subset B :\Leftrightarrow x \in A \Rightarrow x \in B.

В этом случае A называется подмножеством B, Bнадмножеством A. Если A \subset B и A \ne B, то A называется собственным подмножеством В. Заметим, что \forall M \quad M \subset M. По определению \forall M \quad \varnothing \subset M.

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга: A = B :\Leftrightarrow A \subset B \land B \subset A

Операции над множествами

Ниже перечислены основные операции над множествами:

A\cup B := \left\{x| x \in A \lor x \in B\right\}

A\cap B := \left\{x| x\in A\land x\in B\right\}

  • разность:

A\setminus B := \left\{x| x\in A \land x\notin B\right\}

  • симметрическая разность:

A\triangle B \equiv A \dot - B := \left(A\cup B\right)\setminus\left(A\cap B\right) = \left\{x|(x\in A \land x\notin B)\lor(x\notin A \land x\in B)\right\}

  • дополнение:

\overline A := \left\{x|x\notin A\right\}

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (множество U, которое содержит A): \overline A = U \setminus A

A \times B = \left\{ (a,b) | a \in A, b \in B \right\}

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home