Тензор

Те́нзор — объект линейной алгебры. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы и билинейные формы. Изучением тензоров занимается тензорное исчисление.

В некотором базисе отнесения тензор представляется в виде многомерной таблицы d\times d\times \cdots \times d (число сомножителей совпадает с валентностью тензора), заполненной числами (компонентами тензора). При смене базиса отнесения (в частности, координатной системы) компоненты тензора меняются определённым образом, при этом сам тензор не зависит от выбора системы координат или базиса.

Содержание

Определение

Тензор ранга (n,\ m) над d-мерным векторным пространством V есть элемент тензорного произведения n пространств V и m сопряжённых пространств V * (то есть пространств линейных функций (1-форм) на V)

\tau \in T^m_n(V)=V \otimes V \otimes \dots \otimes V \otimes V^* \otimes V^* \otimes \dots \otimes V^*\,.

Сумма чисел n + m называется валентностью тензора. Тензор ранга (n,\ m) также называется n раз ко- и m раз контравариантным.

Примеры

  • Тензор ранга (0,0) есть скаляр;
  • Тензор ранга (1,0) есть вектор;
  • Тензор ранга (0,1) есть ковектор (контравариантный вектор), то есть элемент пространства V * (или линейная функция на V, 1-форма);
  • Тензор ранга (0,2) есть билинейная форма;
  • Тензор ранга (1,1) есть линейный оператор.

Тензорные операции

Тензоры допускают следующие унарные алгебраические операции:

  • Умножение на число — как и любой вектор;
  • Свёртка тензора — специфическая тензорная операция, понижающая ранг тензора.

и следующие бинарные алгебраические операции:

  • Сложение тензоров одинаковой валентности и состава индексов — как векторов;
  • Умножение тензоров — без ограничений. Произведением тензора ранга (m,n) на тензор ранга (m',n') является тензор суммарного ранга (m + m',n + n'), т.е. если \sigma\in T^m_n и \tau \in T^{m'}_{n'} то их произведение
\sigma\otimes\tau\in T^{m+m'}_{n+n'}=T^{m}_n\otimes T^{m'}_{n'}
см. тензорное произведение

Тензор как мультилинейная функция

Про тензор ранга (0,\ n) удобно думать как про функцию \alpha(v_1,v_2,\dots,v_n) с v_i\in V, которая линейна по каждому аргументу v_i\! (такие функции называются полилинейными), т. е.

\alpha(v_1,\dots,cv_i,\dots,v_n)=c\alpha(v_1,\dots,v_i,\dots,v_n)\! и
\alpha(v_1,\dots,v_i+v_i',\dots,v_n)=\alpha(v_1,\dots,v_i,\dots,v_n)+\alpha(v_1,\dots,v_i',\dots,v_n).\!

Также можно думать и про произвольный тензор ранга (n,\ m), но в этом случае надо рассматривать функцию

\alpha(w^1,w^2,\dots,w^n,v_1,v_2,\dots,v_m),

где w^i\in V^* а v_i\in V.

Компоненты тензора

Компонентами (координатами) тензора в базисе отнесения e_i \in V,\ i=1,...,dim(V) являются числа

{\tau_{j_1,j_2,\dots,j_n}}^{i_1,i_2,\dots,i_m} = \tau(e^{j_1},e^{j_2},\dots,e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},\dots,e_{i_m}),
1\le i_a,\ j_b \le d,

где e^j \in V^*,\ j=1,...,d есть базис в пространстве V^*\!, дуальный базису e_i\! (то есть e^j e_i = \delta^j_i, где \delta^j_i есть символ Кронекера). Индексы, относящиеся к пространствам V^*\!, изображают верхними индексами и называют контравариантными, а индексы, относящиеся к пространствам V\! соответственно изображают снизу и называют ковариантными.

Симметрии

В различного рода приложениях часто возникают тензоры с определённым свойством симметрии.

Симметричным по двум ко-(контра-)вариантным индексам называется тензор, который удовлетворяет следующему требованию:

T(\underline{e^{j_1},e^{j_2}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m}) = T(\underline{e^{j_2},e^{j_1}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m})
(T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_1},e_{i_2}},...,e_{i_m}) = T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_2},e_{i_1}},...,e_{i_m}))

или в компонентах

{T_{\underline{j_1,j_2},...,j_n}}^{i_1,i_2,...,i_m} = {T_{\underline{j_2,j_1},...,j_n}}^{i_1,i_2,...,i_m},
\quad \forall j_1,\ j_2 = 1,2,...,(dim(V)=dim(V^*))

({T_{j_1,j_2,...,j_n}}^{\underline{i_1,i_2},...,i_m} = {T_{j_1,j_2,...,j_n}}^{\underline{i_2,i_1},...,i_m},
\quad \forall i_1,\ i_2 = 1,2,...,(dim(V)=dim(V^*))).

Аналогично определяется косая симметрия (или антисимметричность):

T(\underline{e^{j_1},e^{j_2}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m}) = -T(\underline{e^{j_2},e^{j_1}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m})
(T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_1},e_{i_2}},...,e_{i_m}) = -T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_2},e_{i_1}},...,e_{i_m}))

или в компонентах

{T_{\underline{j_1,j_2},...,j_n}}^{i_1,i_2,...,i_m} = -{T_{\underline{j_2,j_1},...,j_n}}^{i_1,i_2,...,i_m},
\quad \forall j_1,\ j_2 = 1,2,...,(dim(V)=dim(V^*))

({T_{j_1,j_2,...,j_n}}^{\underline{i_1,i_2},...,i_m} = -{T_{j_1,j_2,...,j_n}}^{\underline{i_2,i_1},...,i_m},
\quad \forall i_1,\ i_2 = 1,2,...,(dim(V)=dim(V^*))).

Симметрия или антисимметрия не обязательно должна охватывать только соседние индексы, она может включать в себя и индексы из разных мест тензора. Главным условием является то, что симметрия или антисимметрия может относиться только к индексам одного сорта: ко- или контравариантным. Симметрии можду ко- и контравариантыми индексами тензоров не имеют смысла, так как, даже если они наблюдаются в компонентах, то разрушаются при переходе к другому базису отнесения.

Эти определения естественным образом обобщаются на случай более чем двух индексов. При этом при любой перестановке индексов, по которым тензор является симметричным, его действие не изменяется, а при антисимметрии по индексам знак действия тензора изменяется на противоположный для нечётных перестановок (получаемых из начального расположения индексов нечётным числом транспозиций — перестановок двух индексов) и сохраняется для чётных.

См. также

  • Тензорное поле
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home