Теорема Леви о монотонной сходимости

Теорема о монотонной сходимости утверждает, что если последовательность неотрицательных функций монотонно сходится к предельной функции, то интегралы этих функций сходятся к интегралу предела. Эта теорема является важнейшим инструментом для доказательства многих положений функционального анализа и теории вероятностей.

Формулировка из функционального анализа

Пусть фиксировано пространство с мерой (X,\mathcal{F},\mu). Предположим, что \{f_n\}_{n=1}^{\infty} - монотонная и неотрицательная почти всюду последовательность измеримых и интегрируемых по Лебегу функций на X. Тогда

\int\limits_X \lim\limits_{n\to \infty} f_n(x)\, \mu(dx) = \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx).

Формулировка из теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов Ω, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть \{X_n\}_{n=1}^{\infty} - монотонная последовательность неотрицательных п.н. интегрируемых случайных величин. Тогда

\mathbb{E}\left[\lim\limits_{n\to \infty} X_n\right] = \lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}X_n.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home