Оператор набла

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом \nabla (набла) (в Юникоде U+2207, ∇).

Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами {\partial \over \partial x_1} ,{\partial \over \partial x_2} , \ldots , {\partial \over \partial x_n}.

Для трёхмерного декартового пространства оператор набла определяется следующим образом \nabla = {\partial \over \partial x}\vec{i} + {\partial \over \partial y}\vec{j} + {\partial \over \partial z}\vec{k}

Свойства оператора набла

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он умножается.

Если умножить вектор \nabla на скаляр φ, то получится вектор

\nabla\phi = {\partial \phi \over \partial x}\vec{i} + {\partial \phi \over \partial y}\vec{j} + {\partial \phi \over \partial z}\vec{k}, который представляет собой градиент функции φ.

Если вектор \nabla скалярно умножить на вектор \vec{a}, получится скаляр

\nabla\vec{a} = \nabla_xa_x + \nabla_ya_y + \nabla_za_z = {\partial a_x \over \partial x} + {\partial a_y \over \partial y} + {\partial a_z \over \partial z}, то есть дивергенция вектора \vec{a}.

Если \nabla умножить на \vec{a} векторно, то получится ротор вектора \vec{a}.

Также, произведение \nabla\nabla = \nabla^2 есть оператор Лапласа, и обозначается Δ. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

\Delta = {\partial^2 \over \partial x^2} + {\partial^2 \over \partial y^2} + {\partial^2 \over \partial z^2}.

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

grad(\phi\psi) = \nabla(\phi\psi) = \psi\nabla\phi + \phi\nabla\psi = \psi grad\phi + \phi grad\psi
div(grad\phi) = \nabla(\nabla\phi) = (\nabla\nabla)\phi = \Delta\phi
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home