Гомоморфизм

Гомоморфизм (от гомо… и греч. morphe — вид, форма) — это морфизм в категории алгебраических систем. Это отображение алгебраической системы А, сохраняющий основные операции и основные соотношения.

Замечание: Гомоморфизм - не то же самое, что гомеоморфизм (топологическое отображение).

Например, рассмотрим группы (G_1,+)\!\,, (G_2, \circ). Отображение f \colon G_1 \to G_2\!\, называется гомоморфизмом групп G1 и G2, если оно сюрьективно и одну групповую операцию переводит в другую: f(a+b)=f(a)\circ f(b).

Содержание

Гомоморфный образ

Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.

Наглядные иллюстрации

Вот как наглядно иллюстрирует понятие гомоморфного образа группы Дэниел Горенстейн:

В гомоморфном образе группы «отражается» определённое в этой группе умножение, хотя сама группа как бы уменьшается. Это похоже на рассматривание объекта в перевёрнутую подзорную трубу: его общие черты сохраняются, хотя видимые размеры становятся меньше.


Широко известное среди математиков предложение: Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма — совершенно верное утверждение, которое можно читать как стихотворение.

Важная характеризация простых групп в терминах гомоморфного образа: простая группа может иметь в качестве гомоморфным образом либо тривиальную единичную группу, либо саму себя. И обратно, если группа имеет в качестве гомоморфных образов только тождественный и одноточечный, то она проста. Эта характеризация полезна для наглядного определения проста заданная группа или нет.

Типы гомоморфизмов

Литература

Корн Г., Корн Т., Справочник по математике — 1970, стр. 332

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home