Число Каталана

Числа Катала́начисловая последовательность, встречающаяся в многих задачах комбинаторики. Последовательность названа в честь бельгийского математика Каталана, хотя была известна ещё Л. Эйлеру.

Первые несколько чисел Каталана:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452…

Комбинаторные свойства

n-е число Каталана \,\! C_n можно определить одним из следующих способов:

  • Количество правильных скобочных структур длины 2n, то есть таких последовательностей из n левых и n правых скобок, в которых каждой открывающей скобке соответствует закрывающая.
Более точно: в правильной скобочной последовательности количество открывающих скобок равно количеству закрывающих, и в любом префиксе последовательности открывающих скобок не меньше, чем закрывающих.
Например, для n=3 существует 5 таких последовательностей:
((())), ()(()), ()()(), (())(), (()())
то есть C3 = 5.
  • Количество способов соединения 2n точек на окружности n непересекающимися хордами.

Формулы

Числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению:

C_0 = 1\,\! и \qquad C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_i C_{n-1-i} для n\ge 1.\,\!

Это соотношение легко получить, заметив, что любая непустая правильная скобочная структура однозначно представима в форме w=(w1)w2, где w1, w2 — правильные скобочые структуры.

Производящая функция для чисел Каталана:

\sum_{n=0}^{\infty} C_n z^n = \frac{1-\sqrt{1-4 z}}{2 z}

Можно вывести явную формулу:

C_n = \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} = {2 n \choose n} - {2 n \choose n-1}, где {n \choose k}биномиальный коэффициент.

Асимптотически C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home