Норма (математика)

Норма — понятие, обобщающее абсолютную величину (модуль) числа, а также длину вектора на случай элементов (векторов) линейного пространства.

Норма в линейном пространстве L над полем вещественных или комплексных чисел есть функция p:L \to \mathbb{R}, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. p(x) \ge 0, причём p(x) = 0 только при x = 0;
  2. p(x+y) \le p(x)+p(y) для всех x, y \in L (неравенство треугольника);
  3. px) = | α | p(x) для каждого скаляра α.

Норма x обычно обозначается \|x\|. Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством.

Примеры норм в линейных пространствах

  • Гёльдеровы нормы n-мерных векторов (семейство): \|x\|_p = \sqrt[p]{\sum_{i} |x_i|^p}
  • Нормы функций в пространстве C[0,1]: \|f(x)\|_{C[0,1]} = \max_{x \in [0,1]}|f(x)|

Содержание

Топология пространства и норма

Норма задаёт на пространстве топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида B(x,\epsilon)=\{y \mid \|x-y\|<\epsilon\}. Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

Эквивалентность норм

Две нормы p и q на пространстве L называются эквивалентными, если существует две положительные константы C1 и C2 такие, что для любого x \in L выполняется C_1 p(x) \leq q(x) \leq C_2 p(x). Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Операторная норма

Пусть Aоператор, действующий из нормированного пространства L в нормированное пространство K. Норма A определяется так:

\|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.
  • Свойства операторных норм:
  1. \|A\| \ge 0, причём \|A\| = 0 только при A = 0;
  2. \|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|;
  3. \|A + B\| \le \|A\| + \|B\|;
  4. \|AB\| \le \|A\| \cdot \|B\|.

Матричная норма

Нормой матрицы A называется действительное число \|A\|, удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

  1. \|A\| \ge 0, причём \|A\| = 0 только при A = 0;
  2. \|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|;
  3. \|A + B\| \le \|A\| + \|B\|;
  4. \|AB\| \le \|A\| \cdot \|B\|.

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.

Виды матричных норм

  1. m-норма: \|A\|_m = \max_i \sum_j |a_{ij}|
  2. l-норма: \|A\|_l = \max_j \sum_i |a_{ij}|
  3. Евклидова норма: \|A\|_E = \sqrt{\sum_{i, j} |a_{ij}|^2}
  4. Сингулярная норма (подчинена евклидовой норме векторов): \|A\|_2 = \max_i \sigma_i (A)
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home