Частичный предел последовательности

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что только предельная точка множества элементов последовательности может быть её частичным пределом, а также обратное (для доказательства будем брать δn=1/n и, выбирая в каждой δ-окрестности предельной точки член последовательности, построим таким образом сходящуюся к этой точке подпоследовательность).

Нижним пределом последовательности (обозначается \lim_{\overline{n\rightarrow\infty}}{x_{n}} или \liminf_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним пределом (\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}{x_{n}} или \limsup_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}) — наибольший элемент.

Не во всяком множестве существуют наибольший или наименьший элемент; примером может служить интервал (0, 1). Однако утверждается, что у ограниченной последовательности верхний и нижний пределы существуют.

Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано-Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности непусто. Пусть s — верхняя грань множества A частичных пределов. Тогда заметим, что \forall\varepsilon >0 (s-\varepsilon\neq sup(A))\Rightarrow(\exists a_{1}\in A: s-\varepsilon<a_{1}\leq s), а это означает, что в любой окрестности точки a1 находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого "эпсилон", мы можем сказать, что в любой окрестности точки s содержится бесконечно много членов последовательности (т. к. в любой окрестности мы можем найти точку a1). Значит, s по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что мы и хотели доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

Последовательность {xn} сходится к a тогда и только тогда, когда \lim_{\overline{n\rightarrow\infty}}{x_{n}}=\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}{x_{n}}=a, т. к. получается, что a - единственная предельная точка множества элементов последовательности.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home