Теорема Паскаля

Теоре́ма Паска́ля гласит:

Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой.

Теорема Паскаля двойственна к теореме Брианшона.

Самое короткое доказательство основано на теореме Безу.

Обобщения

Теорема верна и в том случае, когда две или даже три соседних вершины совпадают (но не более чем по две в одной точке). В этом случае в качестве прямой, проходящей через две совпадающие вершины, принимается касательная к линии в этой точке.

В частности:

Касательная к линии 2-го порядка, проведенная в одной из вершин вписанного пятиугольника, пересекается со стороной, противоположной этой вершине, в точке, которая лежит на прямой, проходящей через точки пересечения остальных пар несмежных сторон этого пятиугольника.

Если ABCD ― четырехугольник, вписанный в линию 2-го порядка, то точки пересечения касательных в вершинах С и D соответственно со сторонами AD и ВС и точка пересечения прямых А В и CD лежат на одной прямой.

Точки пересечения касательных в вершинах треугольника, вписанного в линию 2-го порядка, с противоположными сторонами лежат на одной прямой.

В 1847 появилось обобщение теоремы Паскаля, сделанное Мёбиусом, которое звучит так:

Если многоугольник с 4n + 2 сторонами вписан в коническое сечение и противоположные его стороны продолжены таким образом, чтобы пересечься в 2n + 1 точке, то если 2n этих точек лежат на прямой, последняя точка будет лежать на той же прямой.

История

Впервые сформулирована и доказана Блезом Паскалем в возрасте 16 лет как обобщение теоремы Паппа.

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home