Спектр оператора

Пусть A — оператор, действующий в комплексном банаховом пространстве E. Комплексное число λ называется регулярным для оператора A, если оператор R(λ) = (A − λI) − 1, называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен. Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора. Спектр оператора представляет собой непустой компакт на комплексной плоскости \mathbb C.

Внутри спектра оператора можно выделять части, не одинаковые по своим свойствам. Одной из основных классификаций спектра является следующая:

  1. дискретным (точечным) спектром называется множество всех собственных значений оператора A;
  2. непрерывным спектром называется множество значений λ, при которых резольвента (A - λI) - 1 определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной;
  3. остаточным спектром называется множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части.

Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через r(A). При этом выполняется равенство r(A) = \lim_{n \to \infty} \|A^n\|^{1/n}.

Резольвента является голоморфной операторнозначной функцией на резольвентном множестве. В частности, при λ > r(A) она может быть разложена в ряд Лорана с центром в точке z = 0.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home